VALENTINA E AGOSTINO

Ieri sera un amico mi ha parlato di John Nash.

Ovviamente, di primo acchito, il ricordo è andato immediatamente allo splendido film che racconta la storia (un po’ romanzata) del matematico.

Nonostante la mia comprovata difficoltà con la matematica in genere, la stessa mi affascina tantissimo soprattutto grazie all’amore che nutriva mio zio per la disciplina, tanto da dedicargli tutta la sua vita; sia di ricerca – per le sue amate pubblicazioni  - che di lavoro – per l'attività di professore presso l’università della mia città.

Non c’era domenica in cui, camminando insieme nei boschi, lui non mi parlasse dei numeri e di come giocando con essi si potevano fare e vedere un sacco di cose….

Mi ricordo ancora quando, d’estate, vestito sempre da buon trentino, con pantaloni di velluto e camice a scacchi, cercava di aiutarmi con funzioni, derivate e altri “gazzebugli” che per lui erano barzellette, per me, invece, tediosi compiti, di difficile soluzione.

Se mi è rimasta la voglia di conoscere, se pur limitatamente e superficialmente le questioni matematiche, se rimango folgorata ed estremamente affascinata dal mondo dei numeri è grazie a lui, che mi ha fatto amare una materia, ostica a tanti, parlandomi sono dei lati positivi della stessa.

Lo ricordo sempre con nostalgia, attraverso le parole di tanti suoi ex studenti, lo rivedo con piacere tenere le lezioni grazie alle videocassette registrate dalla facoltà, attraverso i suoi scritti divenuti pubblicazioni, nati in mezzo ai prati, mentre noi bambini correvamo e lui ci guardava da dietro i suoi occhiali, con le maniche della camicia tirate su e quel sorriso d’amore, sincero, che mai scorderò.

Ma torniamo a Nash vorrei capire a grandi linee i suoi studi…

ieri, questo mio amico mi  parlava della teoria dei giochi …. e quindi, oggi, per la mia solita curiosità, mi sono informata ... ecco un sunto di quanto ho trovato.

Nel modello della "Teoria dei Giochi", tutti devono essere a conoscenza delle regole del gioco, ed essere consapevoli delle conseguenze di ogni singola mossa. La mossa, o l'insieme delle mosse, che un individuo intende fare viene chiamata "strategia".

In dipendenza dalle strategie adottate da tutti i giocatori, ognuno riceve un "pay off" (letteralmente il pagamento d'uscita, o meglio la vincita finale) secondo un'adeguata unità di misura, che può essere positivo, negativo o nullo.

Un gioco si dice "a somma costante" se per ogni vincita di un giocatore c’è una corrispondente perdita per altri.

In particolare, un gioco "a somma zero" fra due giocatori rappresenta la situazione in cui il pagamento viene corrisposto da un giocatore all'altro.

La strategia da seguire è strettamente determinata, se ne esiste una che è soddisfacente per tutti i giocatori; altrimenti è necessario calcolare e rendere massima la speranza matematica del giocatore, che si ottiene moltiplicando i compensi possibili (sia positivi sia negativi) per le loro probabilità

La prima formulazione di questo teorema, che costituisce la nozione di equilibrio più famosa della teoria dei giochi per quel che riguarda i "giochi non cooperativi", appare in un brevissimo articolo del 49 dove Nash, ancora studente, spiega la sua idea di fondere intimamente due concetti apparentemente assai lontani: quella di un Punto fisso in una trasformazione di coordinate, e quella della strategia più razionale che un giocatore può adottare, quando compete con un avversario anch'esso razionale, estendendo la teoria dei giochi ad un numero arbitrario di partecipanti e dimostrando che, sotto certe condizioni, esiste sempre una situazione di equilibrio, che si ottiene quando ciascun individuo che partecipa a un dato gioco sceglie la sua mossa strategica in modo da massimizzare la sua funzione di retribuzione, sotto la congettura che il comportamento dei rivali non varierà a motivo della sua scelta (vuol dire che anche conoscendo la mossa dell'avversario, il giocatore non farebbe una mossa diversa da quella che ha deciso).

Un gioco è caratterizzato da un insieme di giocatori e un insieme di strategie. L'insieme contiene le strategie che il giocatore ha a disposizione, cioè l'insieme delle azioni che esso può compiere; che associano ad ogni giocatore il guadagno (detto anche pay-off) derivante da una data combinazione di strategie (il guadagno di un giocatore in generale dipende infatti non solo dalla sua strategia ma anche dalle strategie scelte dagli avversari).

Un equilibrio di Nash per un dato gioco è una combinazione di strategie

Se un gioco ammette almeno un equilibrio, ogni giocatore ha a disposizione almeno una strategia dalla quale non ha alcun interesse ad allontanarsi se tutti gli altri giocatori hanno giocato la propria strategia.

Infatti se il giocatore gioca una qualunque strategia a sua disposizione diversa, mentre tutti gli altri hanno giocato la propria strategia, esso può solo peggiorare il proprio guadagno o, al più, lasciarlo invariato.

Se ne deduce quindi che se i giocatori raggiungono un equilibrio di Nash, nessuno può più migliorare il proprio risultato modificando solo la propria strategia, ed è quindi vincolato alle scelte degli altri.

Poiché questo vale per tutti i giocatori, è evidente che se esiste un equilibrio di Nash ed è unico, esso rappresenta la soluzione del gioco, in quanto nessuno dei giocatori ha interesse a cambiare strategia.

Il contributo più importante dato da Nash alla teoria dei giochi è la dimostrazione matematica dell'esistenza di questo equilibrio. In particolare egli ha dimostrato che ogni gioco finito che ammetta strategie miste ammette almeno un equilibrio di Nash, dove per gioco finito si intende un gioco con un numero qualunque ma finito di giocatori e di strategie, e per strategia mista si intende un sottoinsieme di strategie a ciascuna delle quali l'agente associa una data probabilità e che sceglierà secondo quest'ultima.

Poiché la maggior parte dei giochi soddisfano queste condizioni, è praticamente sempre possibile prevedere il comportamento dei giocatori: essi giocheranno un equilibrio di Nash, e se esso è unico, l'esito del gioco è noto a priori.

In realtà ci sarebbero molti aspetti da approfondire, soprattutto collegati con gli sviluppi a livello economico che gli sono valsi il nobel, ma non sono sufficientemente all’altezza per poter comprendere la finezza dei suoi studi, mi limito ad aver riportato e capito a carattere generale quanto postato in questo blog relativamente alla teoria dei giochi e all’equilibrio.

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