VALENTINA E AGOSTINO

Ieri sera un amico mi ha parlato di John Nash.

Ovviamente, di primo acchito, il ricordo è andato immediatamente allo splendido film che racconta la storia (un po’ romanzata) del matematico.

Nonostante la mia comprovata difficoltà con la matematica in genere, la stessa mi affascina tantissimo soprattutto grazie all’amore che nutriva mio zio per la disciplina, tanto da dedicargli tutta la sua vita; sia di ricerca – per le sue amate pubblicazioni  - che di lavoro – per l'attività di professore presso l’università della mia città.

Non c’era domenica in cui, camminando insieme nei boschi, lui non mi parlasse dei numeri e di come giocando con essi si potevano fare e vedere un sacco di cose….

Mi ricordo ancora quando, d’estate, vestito sempre da buon trentino, con pantaloni di velluto e camice a scacchi, cercava di aiutarmi con funzioni, derivate e altri “gazzebugli” che per lui erano barzellette, per me, invece, tediosi compiti, di difficile soluzione.

Se mi è rimasta la voglia di conoscere, se pur limitatamente e superficialmente le questioni matematiche, se rimango folgorata ed estremamente affascinata dal mondo dei numeri è grazie a lui, che mi ha fatto amare una materia, ostica a tanti, parlandomi sono dei lati positivi della stessa.

Lo ricordo sempre con nostalgia, attraverso le parole di tanti suoi ex studenti, lo rivedo con piacere tenere le lezioni grazie alle videocassette registrate dalla facoltà, attraverso i suoi scritti divenuti pubblicazioni, nati in mezzo ai prati, mentre noi bambini correvamo e lui ci guardava da dietro i suoi occhiali, con le maniche della camicia tirate su e quel sorriso d’amore, sincero, che mai scorderò.

Ma torniamo a Nash vorrei capire a grandi linee i suoi studi…

ieri, questo mio amico mi  parlava della teoria dei giochi …. e quindi, oggi, per la mia solita curiosità, mi sono informata ... ecco un sunto di quanto ho trovato.

Nel modello della "Teoria dei Giochi", tutti devono essere a conoscenza delle regole del gioco, ed essere consapevoli delle conseguenze di ogni singola mossa. La mossa, o l'insieme delle mosse, che un individuo intende fare viene chiamata "strategia".

In dipendenza dalle strategie adottate da tutti i giocatori, ognuno riceve un "pay off" (letteralmente il pagamento d'uscita, o meglio la vincita finale) secondo un'adeguata unità di misura, che può essere positivo, negativo o nullo.

Un gioco si dice "a somma costante" se per ogni vincita di un giocatore c’è una corrispondente perdita per altri.

In particolare, un gioco "a somma zero" fra due giocatori rappresenta la situazione in cui il pagamento viene corrisposto da un giocatore all'altro.

La strategia da seguire è strettamente determinata, se ne esiste una che è soddisfacente per tutti i giocatori; altrimenti è necessario calcolare e rendere massima la speranza matematica del giocatore, che si ottiene moltiplicando i compensi possibili (sia positivi sia negativi) per le loro probabilità

La prima formulazione di questo teorema, che costituisce la nozione di equilibrio più famosa della teoria dei giochi per quel che riguarda i "giochi non cooperativi", appare in un brevissimo articolo del 49 dove Nash, ancora studente, spiega la sua idea di fondere intimamente due concetti apparentemente assai lontani: quella di un Punto fisso in una trasformazione di coordinate, e quella della strategia più razionale che un giocatore può adottare, quando compete con un avversario anch'esso razionale, estendendo la teoria dei giochi ad un numero arbitrario di partecipanti e dimostrando che, sotto certe condizioni, esiste sempre una situazione di equilibrio, che si ottiene quando ciascun individuo che partecipa a un dato gioco sceglie la sua mossa strategica in modo da massimizzare la sua funzione di retribuzione, sotto la congettura che il comportamento dei rivali non varierà a motivo della sua scelta (vuol dire che anche conoscendo la mossa dell'avversario, il giocatore non farebbe una mossa diversa da quella che ha deciso).

Un gioco è caratterizzato da un insieme di giocatori e un insieme di strategie. L'insieme contiene le strategie che il giocatore ha a disposizione, cioè l'insieme delle azioni che esso può compiere; che associano ad ogni giocatore il guadagno (detto anche pay-off) derivante da una data combinazione di strategie (il guadagno di un giocatore in generale dipende infatti non solo dalla sua strategia ma anche dalle strategie scelte dagli avversari).

Un equilibrio di Nash per un dato gioco è una combinazione di strategie

Se un gioco ammette almeno un equilibrio, ogni giocatore ha a disposizione almeno una strategia dalla quale non ha alcun interesse ad allontanarsi se tutti gli altri giocatori hanno giocato la propria strategia.

Infatti se il giocatore gioca una qualunque strategia a sua disposizione diversa, mentre tutti gli altri hanno giocato la propria strategia, esso può solo peggiorare il proprio guadagno o, al più, lasciarlo invariato.

Se ne deduce quindi che se i giocatori raggiungono un equilibrio di Nash, nessuno può più migliorare il proprio risultato modificando solo la propria strategia, ed è quindi vincolato alle scelte degli altri.

Poiché questo vale per tutti i giocatori, è evidente che se esiste un equilibrio di Nash ed è unico, esso rappresenta la soluzione del gioco, in quanto nessuno dei giocatori ha interesse a cambiare strategia.

Il contributo più importante dato da Nash alla teoria dei giochi è la dimostrazione matematica dell'esistenza di questo equilibrio. In particolare egli ha dimostrato che ogni gioco finito che ammetta strategie miste ammette almeno un equilibrio di Nash, dove per gioco finito si intende un gioco con un numero qualunque ma finito di giocatori e di strategie, e per strategia mista si intende un sottoinsieme di strategie a ciascuna delle quali l'agente associa una data probabilità e che sceglierà secondo quest'ultima.

Poiché la maggior parte dei giochi soddisfano queste condizioni, è praticamente sempre possibile prevedere il comportamento dei giocatori: essi giocheranno un equilibrio di Nash, e se esso è unico, l'esito del gioco è noto a priori.

In realtà ci sarebbero molti aspetti da approfondire, soprattutto collegati con gli sviluppi a livello economico che gli sono valsi il nobel, ma non sono sufficientemente all’altezza per poter comprendere la finezza dei suoi studi, mi limito ad aver riportato e capito a carattere generale quanto postato in questo blog relativamente alla teoria dei giochi e all’equilibrio.

INFORMAZIONI E IMMAGINI TRATTE DA INTERNET

Quando mi metto in testa qualcosa sono abbastanza testarda (c'è chi dice peggio di un lupo cecoslovacco e chi lo ha, sa esattamente a cosa mi riferisco figurativamente).

Mi piace andare e mettere il naso in determinati argomenti (anche se non mi competono o non sono proprio nel mio circolo di conoscenze) e quindi, per gioia vostra, vorrei approfondire qualche lato relativo alle idee, alle certezze, alla logica in generale attraverso lumi del passato.

Ebbene Cartesio si chiedeva cosa fosse possibile conoscere con certezza, rifiutando di accettare come conoscenza certa qualunque cosa di cui fosse possibile dubitare e seguendo questo pensiero arrivò a concludere che l'unica cosa di cui non si può dubitare è la propria esistenza -(riporto dalle sue meditazioni ) - "tutto ben ponderato bisogna concludere e tener fermo che questa proposizione io sono, io esisto, è necessariamente vera, ogni qual volta che io la pronuncio, o la concepisco mentalmente" 

Quindi anche se l'affermazione io esisto fosse errata, nell'atto in cui la penso non posso dubitare del fatto che io esisto (in quanto essere che pensa); è questo il significato del COGITO ERGO SUM (penso, dunque esisto) cartesiano.

Locke, invece, con il suo empirismo, stabilsce quali sono gli ambiti ed i limiti della conoscenza umana, prima di poterla utilizzare per la risoluzione di qualsiasi problema. Locke segue l'impostazione cartesiana che tutto e solo quanto possiamo conoscere direttamente sono le nostre idee (intese qui come qualsiasi cosa che sia oggetto dell'intelligenza, quindi emozioni, pensieri, sensazioni, etc.),  negando però l'esistenza di qualsiasi idea innata, dichiarando che tutte le nostre idee ci vengono dall'esperienza

Secondo il filosofo inglese ci sono idee di sensazione che derivano dall'esperienza esterna e idee di riflessione, nate dall'introspezione e che la mente a partire da idee semplici costruisce, tramite confronti, raggruppamenti, differenziazioni, etc., le idee complesse.

Da qui con la sperimentazione delle idee semplici di solido ed esteso creaimo l'idea di materia, ma questo è solo un nome per una realtà di cui non abbiamo nessuna conoscenza diretta (non percepiamo la materia, solo la solidità e l'estensione), in altri termini, l'esistenza della materia non è un dato di fatto. Allo stesso modo, il principio di causa-effetto non è che un caso particolare di un gruppo di idee dette idee di relazione che nascono ogni volta che mettiamo in relazione le idee fra di loro: ogni volta che un'idea si presenta alla nostra mente essa è preceduta da un'altra idea che chiamiamo la sua causa, ma ancora una volta dire che A causa B non esprime una conoscenza diretta, né una necessità logica, ma solo una relazione fra idee.

Come suggerisce il testo che sto cercando di leggere (a volte non nego con un po' di fatica) per capire come l'idea assoluta di CERTEZZA sia venuta meno ci si dovrebbe collegare al teorema della incompletezza di Gödel e all'interpretazione di Copenhagen che anche se trattano argomentazioni matematiche affermano:

Gödel (riporto da un testo scientifico) " In ogni formalizzazione coerente della matematica che sia sufficientemente potente da poter  assiomattizzare la teoria elementare dei numeri naturali (vale a dire, sufficientemente potente da definire la struttura dei numeri naturali dotati delle operazioni di somma e prodotto) è possibile costruire una proposizione sintatticamente corretta che non può essere né dimostrata né confutata all'interno dello stesso sistema. In ogni teoria matematica T sufficientemente espressiva da contenere l'aritmetica, esiste una formula  tale che, se T è coerente allora né né la sua negazione sono dimostrabili in T. "

A prima vista, quindi, per l'uomo non c'è alcuna certezza. Eppure, quand'anche il "genio maligno" ingannasse l'uomo su tutto, non può impedire che, per essere ingannato, l'uomo deve esistere in qualche modo. Non è certo detto che l'uomo esista come corpo materiale, perché egli non sa ancora nulla della materia. Ma l'uomo è sicuro di esistere in quanto è un soggetto che dubita, cioè che pensa.

INSOMMA, ci siamo, pensiamo e ci creiamo tanti problemi!!!! Scusate, vi ho detto che in questi due giorni sono confusa, vero?  

Che fine farà il mondo? Accidenti è una domanda che sta iniziando a fare capolino anche nella nostra coscienza, credo che tanti di noi comincino a domandarselo dubbiosi .... e così mentre ci si lava i denti, si spegne l'acqua, i bidoncini delle immondizie si moltiplicano sotto al lavello...... gli articoli scientifici e le trasmissioni televisive ci avvertono..... ma .....siamo  davvero spaventati per le sorti del pianeta e quindi anche dell'homo sapiens oppure no? quanti di noi si arrovellano il cervello in cerca di risposte? Cosa facciamo nelle nostre distinte realtà per cercare di migliorarci? Sui giornali cittadini della mia regione tanti gli articoli relativi allo scioglimento dei ghiacciai delle nostre montagne con fotografie esemplificative a 20/30/40 anni di distanza. Impressionanti..... Nessuno ha una risposta, ma ognuno di noi  continua a rimandare la ricerca della verità ai dubbi..... Quest'immagine è di una campagna del WWF ... l'articolo che riporto invece del corriere della sera....

Corriere della Sera = Secondo sir Isaac Newton è iniziato il conto alla rovescia: meno di 53 anni alla fine definitiva del mondo, prevista secondo Newton per il 2060. Lo scienziato infatti, nonostante il suo pensiero positivista, non fu impermeabile al senso del mistero e della superstizione e non si dilettò solo nello studio della fisica e dell'astronomia, ma anche nell'interpretazione dell'Apocalisse, alla ricerca di un mondo simbolico, misterioso e colmo di profezie nascoste. Non fu dunque così razionale come si potrebbe essere portati a credere e non fu esente dal leggere la Bibbia come una sorta di piano cifrato per la storia mondiale (fenomeno chiamato appunto biblicismo).

LA LETTERA - Il padre della fisica moderna formula questa funesta profezia in una lettera risalente al 1704 e pubblicata solo ora in occasione di una mostra dal 18 giugno al 17 luglio all'Università ebraica di Gerusalemme e intitolata «I segreti di Newton». Perché proprio il 2060? Esattamente Newton parlò di 1.200 anni dopo l'800 d. C., data in cui venne restaurato il Sacro Romano Impero. Pare che lo scienziato sia arrivato a indicare questa data in seguito alla rilettura del libro del profeta Daniele, uno dei libri più difficili in cui sono contenuti numerosi simbolismi e visioni fantastiche. E proprio dal linguaggio oscuro e sibillino del testo, Newton fu incoraggiato ad abbandonarsi all'auspicio.

SCIENZA E FEDE - Uno degli aspetti interessanti della rivelazione, oltre alla data in sé (per altro abbastanza vicina), è costituito dal rapporto difficile, eppure possibile, tra scienza e fede religiosa. Newton, nonostante le celebri scoperte scientifiche (tra cui il calcolo infinitesimale), rimase sempre uomo di fede e cercò per tutta la vita di coniugare le due passioni, in evidente dialettica tra loro, arrivando alla rilettura scientifica dei testi sacri. In qualche modo egli fu religiosamente scienziato o scientificamente religioso. O semplicemente decise di vivere il mistero e la ragione, entrambi a modo suo.

dal corriere della sera on - line 22/06/07

Sono un po’ matta, ma a volte piaccio proprio per quel tratto un po’ folle che spesso mi contraddistingue, diciamo per quel lato sognatore che mi fa viaggiare in un mondo parallelo che non ha confini, che io stessa creo e disfo a mio personale e insindacabile giudizio e piacimento.Ancora numeri, teoremi e dimostrazioni …… ho trovato un sito molto interessante che racconta gli aneddoti migliori, riporta importanti citazioni ed evidenzia il lato affascinane di qualche teorema….Ecco… i principali protagonisti che hanno occupato parecchi pomeriggi di studio (sudatissimi e spesso da mal di testa) tutti insieme nella mia mente a chiacchierare del più e del meno…..

Li vedo, laggiù, al parco, infondo al tappeto verde di sofficissima erba, il vento mi porta le voci di Fourier, Cartesio, Euler-Lindemann, Heisenberg, Aristotele, Gauss, Borges, Leibniz, Lagrange, Asimov, Pitagora, Schellbach, Archimede, Galileo, Fermat, Keplero, Laplace, Pascal, Ruffini.

Qualcuno alza la voce, discutono di chi abbia capito meglio la realtà, di chi gli abbia dato più un senso razionale …chi si infervora, chi placa gli animi.

C’è chi fuma con l’aria di essere al lavoro nel pensare a qualcosa di indefinito….  

Quanto mi piacerebbe poter avere una macchina del tempo e accompagnare di persona certi personaggi nella loro vita quotidiana….. quanto vorrei essere capace di seguire fino alla fine un teorema e una dimostrazione senza aver bisogno di enormi volumi esplicativi…. Le mie stampelle per stare al passo con loro….

Continuando a curiosare nel sito, alcune citazioni (quasi tutte bellissime) mi colpiscono un po’ di più….

Come io vedo il mondo [...] La cosa più bella che noi possiamo provare è il senso del mistero, esso è la sorgente di tutta la vera arte e di tutta la scienza. [...] L'estrema nitidezza, chiarezza, certezza, non si ottengono che a spese dell'incertezza. [...] Secondo la nostra esperienza fino a oggi, abbiamo il diritto di essere convinti che la Natura è la realizzazione di tutto ciò che si può immaginare di più matematicamente semplice. Sono persuaso che la costruzione puramente matematica ci permette di scoprire questi concetti che ci danno la chiave per comprendere i fenomeni naturali e i principi che li legano fra loro. I concetti matematici utilizzabili possono essere suggeriti dall'esperienza, ma mai esserne dedotti in nessun caso. L'esperienza resta naturalmente l'unico criterio per utilizzare una costruzione matematica per la fisica; ma è nella matematica che si trova il principio veramente creatore.

Albert Einstein - La teoria della relatività

Nessuna certezza è dove non si può applicare una delle leggi matematiche over che non sono unite con esse matematicamente. Leonardo da Vinci

In realtà le matematiche esigono molta immaginazione, è impossibile essere un buon matematico se non si è, nello stesso tempo, un po' poeta.

Quando tutto nella vita mi sembra meschino, insignificante, allora mi rifugio nella contemplazione delle leggi immutabili ed eterne della scienza. Sofia Vasilyevna Kovalevskaya

Per lavoro spesso mi trovo ad armeggiare con la matematica che, come ho scritto almeno una volta, non è il mio forte…..

Eh si, dopo aver frequentato la facoltà di ingegneria posso tranquillamente dire che quando dovevo studiare qualcosa non riuscivo mai a farlo per logica, ma grazie alla memoria nuda e cruda che fotografava formule, teoremi e dimostrazioni e le riforniva a mò di dispenser tipo pacchetto last–minute in occasione dell’esame….. ho tirato avanti parecchio, anche se non ho terminato i miei studi per motivi direi stupidi, ma comunque vitali.

Giuro, però, che la matematica, i teoremi, le analisi e le trasformate mi affascinano in modo direi surreale, Lagrange, Fourier, Tylor …….. mi hanno sempre incuriosito a tal punto da voler riuscire almeno una volta a tuffarmi nei numeri e nei simboli per poi tornare sulla terra ferma, distrutta, senza fiato, ma vincitrice del premio più ambito: aver condiviso con loro, per un attimo, quello che hanno scoperto e della comodità nell’utilizzo del loro “prodotto” per ottenere quanto al caso serva.

Purtroppo il mio mancato e altalenante esercizio mi porta a situazioni in cui, a volte, per ri-tuffarmi devo riprendere in mano i  polverosi libri delle superiori dove le cose vengono spiegate un po’ meno accademicamente rispetto ai tenori universitari ….

Da lì, poco per volta, riaffiorano i ricordi e ci si riappropria dei mezzi utili e necessari ad affrontare il machiavellico scritto.

Certo è abbastanza ridicolo immaginarmi ultimogenita di una famiglia di matematici e studiosi, vero? Chissà perché sono riuscita benissimo ad essere marchiata fin da piccolina come la pecorella smarrita, forse peggio, quella nera che non c’entra nulla con il resto del gregge.

Figuriamoci che la mia bis nonna invece di regalarmi a Natale delle bambole impacchettava orgogliosamente sempre giochetti istruttivi basati sulla matematica….. che tragedia quando ho interrotto gli studi….

Un po’ mi manca l’idea di non aver oltrepassato il traguardo di tante fatiche …. lavoro ugualmente nel campo tecnico, ma mi sento sempre un po’ zoppa anche se le soddisfazioni non mancano.

L'altro giorno, comodamente sdraiata sul divano rileggevo un articolo che tempo fa mi colpì in modo particolare, ma che non avevo del tutto gustato. Di solito strappo brutalmente le pagine e le conservo per periodi in cui il tempo e la voglia si avvicinano più a questo o a quell’argomento. Lo so, non sono del tutto normale, ma ormai la mia è una pratica più che consolidata in anni e anni di strappi e di metter via frasi, letture, etc.                                                                                     

Dunque, dopo una lettura più approfondita di quanto gelosamente custodito per mesi in fondo al mio comodino una citazione di LEIBNIZ continua a riecheggiare nella mia mente spinta dalla curiosità morbosa solita e propria delle donne.

La frase in questione è questa: " la musica è l'esercizio matematico nascosto di una mente che calcola inconsciamente" e poi un velocissimo richiamo alla musica di Bach che, a dir di molti, è matematica pura. 

Accontentarsi????? no, mai!!!!!! Ho voluto metterci dentro per bene il naso e scoprire qualcosa in più relativamente a questo personaggio che mi ha messo in mente l’immagine paradossale che musica e matematica vadano a braccetto e quindi, occhiali e libri alla mano ho scoperto che Leibniz iniziò l'università prestitssimo - a 15 anni – conseguendo una laurea in filosofia e una in legge. Diciamo che erano altri tempi, infatti la sua più importante svolta fu quella dell’11 novembre 1675 quando utilizzò per la prima volta il calcolo integrale per trovare l'area dell'insieme di punti delimitato dalla funzione y=x.

Quella citazione mi aveva decisamente colpito e proprio per questo non mi accontentai e volli scavare neli suoi pensieri, almeno quelli noti all’enciclopedia.

Portando avanti la realizzazione di Pascal, costruì la prima calcolatrice meccanica capace di eseguire moltiplicazioni e divisioni. Sviluppò inoltre la forma moderna del sistema di numerazione binaria utilizzato oggi nell'informatica per i computer, non solo, introdusse diverse notazioni usate nel calcolo fino ai giorni nostri, ad esempio il segno dell'integrale ∫ che rappresenta una S allungata (dal latino summa) e la d usata per le derivate.

Ciò però non mi bastava, troppo accademico per i miei gusti e soprattutto per la mia predisposizione matematica – nota a tutti come prossima allo zero – finalmente l’indice scorre su qualcosa di più interessante che riporto perché prima di capirlo ho dovuto leggerlo svariate volte – qualche volta sono un po’ dura di comprendonio……

Leibniz pensava che i simboli fossero molto importanti per la comprensione delle cose. Egli cercò di sviluppare un "alfabeto del pensiero umano", nel quale cercò di rappresentare tutti i concetti fondamentali usando simboli, e combinando questi simboli per rappresentare pensieri più complessi, senza però mai giungere ad una conclusione di questo ambizioso programma.

Il suo contributo filosofico alla metafisica è basato sulla Monadologia, che introduce le Monadi come "forme sostanziali dell'essere". Le Monadi sono delle specie di atomi spirituali, eterne, non scomponibili, individuali, seguono delle leggi proprie, non interagiscono, ma ognuna di esse riflette l'intero universo in un'armonia prestabilita. Dio e l'uomo sono anche monade: le monadi differiscono tra loro per la diversa quantità di coscienza che ogni monade ha di sé e di Dio al suo interno.

La concezione di Leibniz era contrapposta alla tesi di Newton di un universo costituito da un moto casuale di particelle che interagiscono secondo la sola legge di gravità. Tale legge, infatti, secondo Leibniz era insufficiente a spiegare l'ordine, la presenza di strutture organizzate e della vita nell'universo e più razionale del continuo intervento dell'"Orologiaio" creatore dell'universo ipotizzato da Newton.